11 RELACIÓN ENTRE LA ATMÓSFERA GRIS Y NO GRIS : COEFICIENTES DE ABSORCIÓN MEDIA
Hemos visto que la atmósfera gris
puede ser resuelta exactamente a partir del método de las ordenadas discretas de
Chandrasekhar. Lamentablemente, el material de las atmósferas estelares no es
gris, siendo en general el coeficiente de absorción kn una función de la
frecuencia n. Podríamos, sin embargo, preguntarnos hasta donde podría
considerarse válida una distribución de temperatura tal como la especificada en
(9.131), para el caso de una atmósfera no gris ? En otras palabras, es acaso
factible definir un coeficiente de absorción media 
de tal manera que la
solución del caso gris sea válida también para el caso no gris, usando 
en lugar de k ?
Comencemos por comparar las ecuaciones de transporte y las que involucran a Hn y Kn, correspondientes al caso no gris y gris, respectivamente. Dado que la diferencia entre ambos casos radica básicamente en la dependencia explícita del coeficiente de absorción con la frecuencia, pondremos estas ecuaciones explícitamente en función de kn o k según sea el caso :
(9.166) 
(9.169)
(9.167) 
(9.170)
(9.168) 
(9.171)
Será acaso posible definir algún
coeficiente de absorción media 
, de tal manera que al integrar en frecuencias las ecuaciones
(9.166), (9.167) y (9.168) se obtengan ecuaciones formalmente similares a las
(9.169), (9.170) y (9.171), en las cuales intervenga 
en lugar de k ? Precisamente,
con este propósito se han definido algunos coeficientes de absorción media que
pasamos a describir.
Supongamos que deseamos definir un coeficiente de absorción media de tal manera que al integrar en frecuencias (9.168) esta ecuación se reduzca formalmente a la (9.171). Si fuese posible definir tal coeficiente, al ser en este caso
,
podríamos escribir nuevamente la relación lineal :
,
obtenida en el caso gris. Con este propósito se define el coeficiente de absorción media pesado por el flujo, de la siguiente manera :
(9.172)
Con esta definición, al integrar en frecuencias (9.168) resulta :
, (9.173)
la cual es
formalmente idéntica a la (9.171) del caso gris, sólo que en lugar del
coeficiente k aparece 
. Se aprecia entonces que al definir el coeficiente de
absorción media pesado por el flujo mediante la expresión (9.172), se recupera
la linealidad de K, aunque como
veremos más adelante, este coeficiente no recupera la constancia del flujo
total. Existe además un problema práctico al definir Hn, ya que a priori no se conoce este flujo y por ende la opacidad
media 
no puede en la
práctica calcularse hasta que no se resuelva la ecuación del transporte.
Si se mantiene kn en el denominador de (9.168), se integra en frecuencias, y se tiene en cuenta la (9.173), resulta :
, (9.174)
por lo que la
anterior definición de 
dada en (9.172)
resulta equivalente a la siguiente:
(9.175)
Esta última igualdad expresa que la
opacidad media 
puede también
definirse como la inversa del promedio de 
, pesado por la derivada de Kn respecto de x. Al igual que antes, existe el
problema de que a priori Kn no se conoce, ya que este parámetro depende del campo radiante In y, por lo tanto, no puede
calcularse 
.
Por el contrario, la denominada media de Planck, definida como :
, (9.176)
presenta la
ventaja de que es una opacidad media calculable inmediatamente, aunque tiene la
desventaja de que no preserva la linealidad de K como ocurre con 
.
En la primera aproximación de
Eddington obtuvimos la relación simple 
y, dado que a grandes
profundidades en la atmósfera (t ® ¥) las condiciones se aproximan al equilibrio termodinámico estricto,
la intensidad media Jn tiende a Bn de manera que la expresión (9.175) en esta aproximación se escribe
como :
, (9.177)
en la cual 
se denomina media de Rosseland, usada
particularmente para el interior estelar. Además, como :
,
la (9.177) es equivalente a :
(9.178)
En consecuencia, la media de Rosseland puede definirse como la inversa del promedio de 1/kn, pesado por la derivada de la función de Planck con respecto a la temperatura. Para el cálculo, la (9.178) puede escribirse de la siguiente manera :
, (9.179)
en la cual : 
, (9.180)
siendo
.
Puede
demostrarse que también 
recupera la
linealidad de K.
Otro coeficiente de absorción media suele definirse como un promedio pesado por la intensidad media Jn de la siguiente manera :
, (9.181)
en tanto que la denominada media de Chandrasekhar fue definida por este autor de la siguiente manera :
, (9.182)
siendo 
el flujo monocromático en una atmósfera gris.
Debe notarse que cualquiera sea la elección del coeficiente de absorción media, no es posible reducir completamente el problema no gris al caso gris. Esto se debe que si bien algunos coeficientes medios preservan la linealidad de K
(
y 
, por ejemplo), ninguno de ellos recupera la constancia del
flujo total. En otras palabras, al elegir un determinado coeficiente de
absorción media, dicha elección no conduce a que la ecuación (9.167), una vez
integrada en frecuencias, se reduzca a otra formalmente similar a la (9.170),
usando el coeficiente elegido. En efecto, si admitimos que existe ETL de manera
que Sn pueda reemplazarse por la función de Planck, multiplicando la expresión
(9.167) miembro a miembro por
resulta :
, (9.183)
e integrando en frecuencias y teniendo en cuenta (9.176) y (9.181) se obtiene :
, (9.184)
expresión ésta que no necesariamente se anula puesto que en general
.
En consecuencia, no se recupera la constancia del flujo H. Nótese que a la misma conclusión hubiésemos arribado si se hubiera multiplicado (9.167) por los cocientes
, 
, 
o
.
La imposibilidad de recuperar la
constancia del flujo total usando coeficientes de absorción media, explica la
necesidad de calcular el coeficiente másico de absorción 
explícitamente en
función de la frecuencia, problema que plantearemos en las próximas clases.